RELASI

Pengertian Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan

elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.

Contoh:

A = {2,3,4,5,6}

B = {1,2,3,4,5,6}

Relasi : “adalah faktor dari “

Dapat disajikan dalam dua macam cara.

a.  Dengan diagram panah 

b. Dengan diagram pasangan berurutan.

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}

Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke

himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada A × B, di

mana a ∈ A dan -  b ∈ B salah satu dari kalimat berikut:

Relasi atau hubungan itu dapat terjadi di berbagai bidang misalnya ekonomi,IPA,

keteknikan  dan lain sebagainya, seperti hubungan antara jumlah suatu barang  dengan

harganya, dalam  hubungan antara harga dengan permintaan atau penawaran,  dalam

hubungan antara kekuatan suatu zat radioaktif dengan waktu.

Pengertian Produk Cartesius

Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x Î A dan y Î B dan ditulis AxB = {(x,y) | x ÎA dan y Î B}.

Contoh :

Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :

a.       A x B        c.  A x A

b.      B x A        d.  B x B

Jawab:

A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}

B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Relasi

Misal :

A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.

Pada relasi R = {(x,y)| x Î A dan x Î B} dapat disebutkan bahwa :

a.         Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal (domain).

b.        Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).

c.         Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y Î B disebut daerah hasil (range) relasi R.

Suatu relasi R = {(x,y) | x Î A dan x Î B} dapat ditulis dengan menggunakan :

a.         Diagram panah

b.        Grafik pada bidang Cartesius

Contoh :

Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x Î A, y Î B}.

Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :

Domain            : D_f : {1,2,3,4}

Kodomain       : K_f : {0,1,2,3,4}

Range              : R_f : {0,1,2,3}

	Relasi f

 

Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :

Fungsi atau Pemetaan

Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.

f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan   f : A à B

jika x ÎA dan y Î B, sehingga    (x,y) Î f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)

(ditunjukkan dalam gambar disamping)

	f : x à y = f (x)

 

y = f (x) : rumus untuk fungsi f

x disebut variabel bebas

y disebut variabel tak bebas

Contoh :

Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}

a.       Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).

b.      Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.

c.       Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

Jawab :

a.       f (x) = 2x – 1, maka :

f (0) = -1   

f (1) = 1    

f (2) = 3

f (3) = 5

f (4) = 7

b.      Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

 

                                                                  y = f (x) = 2x – 1

 

 

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                Daerah   asal

 

c.       Daerah hasil fungsi f è R_f = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}

Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).

Contoh :

Tentukan daerah asal dari fungsi berikut :

1.      f (x) =

Jawab :

f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1

Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}

2.      g (x) =

Jawab :

g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :

4 – x² ³ 0

x² – 4 £ 0

(x-2) (x+2) £ 0   è  -2 £ x £ 2

Jadi Dg = {x | -2 £ x £ 2, x Î R}

Beberapa Sifat Relasi
Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :
1. Refleksif (reflexive)
Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.
Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.
Contoh :
Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R .
Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.
Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :
• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,
• Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya.
2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)
Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.
Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.
Contoh :
Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :
a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
Periksa apakah relasi R bersifat simetri !
Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.
Dengan demikian R bersifat simetri.
Contoh :
Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri
Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.
Contoh :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
Contoh :
Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.
Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu :
• Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau m_ij = m_ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah :
Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
• Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika m_ij = 1 dengan i ≠ j, maka m_ji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari m_ij = 0 atau m_ji = 0 bila i ≠ j :
Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :
R^–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }
Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :
(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q
maka kita peroleh :
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)
R^–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :
(q, p) ∈ R^–1 jika q adalah kelipatan dari p
sehingga diperoleh :
R^–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R, maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,
3. Transitif (transitive)
Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
Contoh :
Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :
a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A,
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8 ) ∈ R terlihat bahwa (2, 8 ) ∈ R.
Dengan demikian R bersifat transitif.
Contoh :
R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :
R : a + b = 5, a, b ∈ A,
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.
Dengan demikian R tidak bersifat transitif.
Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :
Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur
berarah dari a ke c.
Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya.

sumber : http://raditeowarma.students-blog.undip.ac.id/2010/09/23/sifat-sifat-relasi-matematika-diskrit/