FUNGSI

B. Pengertian Fungsi

Perhatikan diagram dibawah ini:

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi

sering juga disebut dengan istilah pemetaan

(mapping) didefinisikan sebagai berikut :

Definisi:  Suatu fungsi f dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu relasi yang

memasangkan setiap elemen dari A secara

tunggal,  dengan elemen pada B.

Ditulis f : A → B dibaca “fungsi f pemetaan A ke dalam / into B”

Apabila f memetakan suatu elemen x ∈A ke suatu y ∈ B dikatakan bahwa y adalah peta
dari x oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis dengan f:x →

f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B

disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan

daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut.

Contoh 1:

Diagram sebagaimana pada G.b. 2.4 di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi

(yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A

adalah secara tunggal.

Contoh 2

   

Diagram di samping bukan merupakan fungsi

karena ada elemen A yang dipasangkan tidak

secara tunggal dengan elemen pada B.

Contoh 3 :

Diketahui A = {x | -3 ≤ x < 3, x ∈ R} dan suatu fungsi f: A → R

Ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 1

a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari 5

b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f.

c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi.

Jawab:

Dibuat grafik y= x2 + 1

f(-3) = (-3)2 + 1 =10

f(3) = (3)2 + 1 = 10

titik balik (0,1)

Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = { y | 1 < y < 10, y ∈ R }, karena nilai f(x) = y

terletak pada interval tersebut sebagaimana terlihat pada sumbu y.

c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan

secara tunggal maka f merupakan fungsi.

C.Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing

himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat

fungsi yakni sebagai berikut :  

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu

(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen

yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah

fungsi injektif apabila a ≠  a’ berakibat f(a) ≠  f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)

maka akibatnya a = a’.

Contoh:

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab 

f(-2) = f(2).


 2.

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli}  yang

didefinisikan dengan f(x) = 2x  adalah fungsi

satu-satu, sebab kelipatan  dua dari setiap dua

bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

 2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil  f(A)

dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang

berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di

A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”

Contoh:

1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2    bukan fungsi yang  onto

karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut

2. Gb. 2.11

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A

→ B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah

suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah

sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

  

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi  yang

injektif dan  surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A

dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

 1)

  

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =

{p,q, r} yang didefinisikan  sebagai diagram di

samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di

dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena  tidak ada satu

kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

D.Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D,

maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka

yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk  fungsi-fungsi pada R

kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a.  Fungsi Konstan

b.  Fungsi Identitas

c.  Fungsi Linear

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a

     

d.  Fungsi Kuadrat 

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R

dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

e.  Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x)  P(x) dengan P(x) dan Q(x)

adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f : x→ x disebut fungsi identitas.

Latihan 1 :

1. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif,        

serta bijektif? Berilah penjelasannya!

2. Diketahui himpunan D = {1,2,3,4,5}. Suatu relasi pada D ini, manakah yang berupa

     pemetaan dan berikan alasannya !

   a.R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

   b.R = {(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(5,1)}

   c.R = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)}

3.Suatu fungsi f: R→R ditentukan oleh f(x) = x2 + 2

   a.Tentukan f(-1), f(a), dan f(1).

   b.Tentukan a jika f(a) = 27

   c.Anggota manakah dari daerah asal yang mempunyai peta 18 ?

4.Manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan

   domain {1, 2, 3, 4}, yang didefinisikan sebagai berikut?

   a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

   b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}

   c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4}

  d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 4); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5. Misalkan A = [–1, 1] = {x|–1≤ x ≤ 1, ∈ R}. Apakah fungsi di bawah ini surjektif?

   a. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x c. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x2

   b. f: A → A ; didefinisikan f(x) = 2x – 1 d. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x3