Proposisi
Di dalam
matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang
bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut
dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi
adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran
atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).
Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat
yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
a) 6 adalah bilangan genap
b) Soekarno adalah Presiden Indonesia
yang pertama
c) 2 + 2 = 4
d) Ibukota Provinsi Jawa Barat
adalah Semarang
e) 12 ≥ 19
f) Kemarin hari hujan
g) Suhu di permukaan laut adalah
21 derajat celcius
h) Pemuda itu tinggi
i) Kehidupan hanya ada di
Planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c
bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya
Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f
sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal
yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah
sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah.
Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau
salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h.
Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan
yang dapat memastikan kebenarannya.
Contoh 1.2
a) Jam berapa kereta api Argo
Bromo tiba di Gambir?
b) Serahkan uangmu sekarang!
c) x + 3 = 8
d) x > 3
bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya,
sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai
kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi
selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun
kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut
tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah
(variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat
“Untuk
sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”
Bidang
logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional
logic).
Secara
simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,
p: 6 adalah bilangan genap,
Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah
bilangan genap”. Begitu juga untuk
q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang
pertama.
r : 2 + 2 = 4.
dan sebagainya.
Mengkombinasikan Proposisi
Operator
yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang
digunakan adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua
buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah
proposisi.
Proposisi
baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan
kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik.
Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI.
Misalkan dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan ,
dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p dan
Disjungsi (disjunction) dan , dinyatakan dengan notasi ,
adalah proposisi
p atau
Ingkaran
atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p
Catatan:
1.
Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.
2.
Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah
pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya
disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga
diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk
pernyataan tersebut.
Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi
simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga
ekspresi logika.
Contoh 1.2
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p: Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka
pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan
dari sekolah
pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan
dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam
kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)
Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan
oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh
operator logika.
1.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
·
Konjungsi p ^ q bernilai benar
jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya
salah
·
Disjungsi p v q bernilai salah
jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya
benar
·
Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya
Misalkan
p: 17 adalah bilangan prima
q: bilangan prima selalu ganjil
jelas
bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p ^ q: 17 adalah
bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.
Satu cara
yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah
menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai
kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk
konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi,
disjungsi, dan ingkaran
|
p
|
q
|
p ^ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
|
p
|
q
|
p v q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
|
p
|
q
|
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
Contoh
soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah
tabel kebenaran dari ekspresi logika
(p ^ q) v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi
logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga
jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah buah. Tabel
kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.
Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v
(~q ^ r)
|
p
|
q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi
majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran
masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai
kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah
proposisi majemuk disebut tautologi jika
ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Yang
dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua
kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi
dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom
terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.
Hukum – Hukum Proposisi
Proposisi,
dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan
dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan
hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu
hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan
juga hukum-hukum aljabar proposisi.
|
1.
1. Hukum identitas
i.
p v F ó p
ii.
p ^ T ó p
|
1.
2. Hukum null dominasi
i.
p ^ F ó F
ii.
p v T ó T
|
|
1.
3. Hukum negasi
i.
p v ~p ó T
ii.
p ^ ~p ó F
|
1.
Hukum idempotent
i.
p v p ó p
ii.
p ^ p ó p
|
|
1.
5. Hukum involusi
~(~p) ó p
|
1.
Hukum penyerapan
i.
p v (p ^ q) ó p
ii.
p ^ (p v q) ó p
|
|
1.
7. Hukum komutatif
i.
p v q ó q v p
ii.
p ^ q ó q ^ p
|
1.
Hukum assosiatif
i.
p v (q v r) ó (p v q) v r
ii.
p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
|
|
1.
9. Hukum distributif
i.
p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)
ii.
p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)
|
10. Hikum de morgan
i.
~(p ^ q) ó ~p v ~q
ii.
~(p v q) ó ~p ^ ~q
|
Hukum-hukum
logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi.
Selain menggunakan tabel kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan
hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak
proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi
atomic, maka table kebenarannya terdiri dari baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan
tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat
baris di dalam tabel kebenarannya.
Implikasi
Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang
digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.
Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan
p→q. Dibaca :
1.
Jika p maka q
2.
p berimplikasi q
3.
q hanya jika p
4.
p syarat cukup untuk q
5.
q syarat perlu untuk p
Pada implikasi, p disebut anteseden
(hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).
Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah
hanya berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai
salah.
|
p
|
q
|
p→q≡¬pVq
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
Implikasi Logis
“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”
Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka
sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.
Misal p: Andi rajin
belajar
q: Andi naik kelas
maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.
|
p
|
q
|
p→q
|
((p→q)∧p)
|
((p→q)∧p)→q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
TAUTOLOGI
Tautologi
adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.
Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua
pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi
kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono
pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri
dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah
premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A →
B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) →
B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) →
((A V C) → B
|
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa
pernyataan majemuk :
((A → B) ʌ
(C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel
kebenaran:
1.
(p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah
tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua
pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain
pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2.
[(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
|
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
Berdasrkan
tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB.
Dengan perkataan lain, pernyataan
majemuk [(p q) ʌ
p] p q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan
penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum
ekuivalensi logika.
Contoh:
1.
(p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q)
v q
~p v ~q v q
~p v T
T ………….(Tautologi)
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa
pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena
hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari
pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:
|
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk
(p ʌ q) q merupakan Tautologi.
1.
q (p v q)
penyelesaian:
q (p v
q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T …………(Tautologi)
1.
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu
suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau
sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai
kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu
pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama
dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai
F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:
1.
(A ʌ ~A)
Pembahasan:
|
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel
kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk
(A ʌ ~A) selalu salah.
2.
P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
1.
Ekuivalensi Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai
nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah
pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu
mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:
1.
Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ p
p v q q v p
2.
Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r p v (q v r)
3.
Hukum distributif:
p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r)
4.
Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
5.
Hukum ikatan (dominasi):
P v T T
P v F F
6.
Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
7.
Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p) p
8.
Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
9.
Hukum de morgan:
~( p ʌ q) ~p v ~q
~(p v q) ~p ʌ ~q
1.
Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
1.
Hukum T dan F:
~T F
~F T
2.
Hukum implikasi ke and/or:
P q ~p v q
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian
soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika
tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan
jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum
ekuivalensi logika tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka
kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:
1.
Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p
v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p
Jawab:
~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ
q) v (~p ʌ ~q)
~p ʌ (q v ~q)
~p ʌ T
~p ………..(terbukti)
2.
Tunjukkan bahwa: ~(p v
q) (~p ʌ ~q)
Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p
ʌ ~q) yaitu:
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(~p ʌ ~q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
Dari tabel diatas pada kolom ke(6) dan (7), jelas
bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Sumber :
http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Informatika, 2005
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Informatika, 2005
